Determinan [Dekomposisi Matriks – Metode Doolittle]

 Dekomposisi Matriks

Dekomposisi (faktorisasi) merupakan salah satu solusi yang digunakan pada

matriks untuk menyelesaikan permasalahan mencari nilai Determinan Matriks.

Dekomposisi matriks menguraikan matriks Non-Singular menjadi 2 bagian, yaitu

Matriks Segitiga Bawah [L] (Lower) dan Matriks Segitiga Atas [U] (Upper).

A =

a11 a12 a13 . . a1n

a21 a22 a23 . . a2n

a31

. .

an1

a32

. .

an2

a33 . . a3n

. . . . a4n

an3 . . a5n

1 0 0 . . 0

l21 1 0 . . 0

l31

. .

ln1

l32

. .

ln2

1 . . 0

. . 1 0

ln3 . . 1

=

u11 u12 u13 . . u1n

0 u22 u23 . . u2n

0

. .

0

0

. .

0

u33 . . u3n

. . . . 0

0 . . unn

Dekomposisi Matriks

Dekomposisi matriks pada penyelesaian Determinan memiliki langkah umum :

Bentuk Matriks L dan U dari [A]

Menghitung Nilai Determinan

Adapun pada dekomposisi matriks terdapat 2 metode untuk penyelesaiannya, yaitu

Metode Crout

Metode Doolittle

Determinan [Dekomposisi Matriks – Metode Doolittle]

Mencari nilai determinan matriks menggunakan Dekomposisi Metode Doolittle

terlebih dahulu mencari bentuk Matriks L dan Matriks U. Lalu setelah mencari

bentuk matriks L dan U kemudian dapat dicari nilai determinan matriks. Pada

proses metode doolittle ada beberapa iterasi yang dilakukan untuk mencari nilai

pada matriks L dan U

Determinan [Dekomposisi Matriks – Metode Doolittle]

Terdapat beberapa Iterasi yang dilakukan untuk mencari nilai pada matriks L dan

U. Sebagai contoh :

a11 a12 a13 u11u12u13 1 0 0

a21 a22 a23 0 u22u23 l21 1 0

a31 a32 a33 0 0 u33 l31 l32 1

Iterasi 1 :

U11 = a11

U12 = a12

U13 = a13

Iterasi 2 :

L21 = a21

a11

L31 = a31

a11

Iterasi 3 :

U22 = a22 – L21U12

U23 = a23 – L21U13

Iterasi 4 :

L32 = a32 −L31U12

U22

Iterasi 5 :

U33 = a33 – L31U13 – L32 U23

Determinan [Dekomposisi Matriks – Metode Doolittle]

Kemudian, setelah didapat matriks dekomposisi L dan U. Selanjutnya mencari

nilai determinan matriks menggunakan persamaan

det A = u11 ∗ u22 ∗ u33 ∗ ... ∗ uii

Contoh Determinan [Dekomposisi Matriks – Metode Doolittle]

Cari nilai determinan dari matriks berikut :

1 3 1

1 5 5

2 7 5

Contoh Determinan [Dekomposisi Matriks – Metode Doolittle]

Iterasi 1 :

U11 = a11 = 1

U12 = a12 = 3

U13 = a13 = 1

Iterasi 2 :

L21 = a21

a11

=

1

1

= 1

L31 = a31

a11

=

2

1

= 2

1 3 1 a11 a12 a13 u11 u12 u13 1 0 0

1 5 5 a21 a22 a23 0 u22 u23 l21 1 0

2 7 5 a31 a32 a33 0 0 u33 l31 l32 1

Iterasi 3 :

U22 = a22 – L21U12 = 5 – 1*3 = 5 – 3 = 2

U23 = a23 – L21U13 = 5 – 1*1 = 5 – 1 = 4

Iterasi 4 :

L32 = a32 −L31U12

U22

=

7 − 2∗3

2

=

7 −6

2

=

1

2

= 0,5

Iterasi 5 :

U33 = a33 – L31U13 – L32U23

= 5 – 2*1 – 0,5*4

= 5 – 2 – 2

= 1

Contoh Determinan [Dekomposisi Matriks – Metode Doolittle]

Setelah selesai iterasi pada proses dekomposisi, maka didapatkan matriks L dan U

L =

1 0 0

1 1 0

2 0,5 1

U =

1 3 1

0 2 4

0 0 1

Kemudian mencari nilai determinan pada matriksnya

|A| = u11 ∗ u22 ∗ u33

|A| = 1 * 2 * 1

|A| = 2